Variables aléatoires discrètes finies - STMG

Loi binomiale

Exercice 1 : Probabilité de loi binomiale P(X = 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 8 \) et \( p = \dfrac{1}{4} \).

Calculer \( P(X = 3) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Exercice 2 : Probabilité de loi binomiale P(X ≥ 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 6\) et \(p = \dfrac{1}{4}\).

Calculer \(P\left(X \ge 3\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

Exercice 3 : Proba de loi binomiale P(X ≤ 3)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 7\) et \(p = \dfrac{1}{5}\).
Calculer \(P\left(X \le 4\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

Exercice 4 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine de la Guinée Équatoriale. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(358\:993\) hommes et \(341\:408\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 5 : Probabilité de loi binomiale - lecture énoncé (formule factorielles)

Soit une urne contenant \(2\) boules rouges et \(6\) boules bleues. On effectue \(6\) tirages successifs avec remise dans cette urne.

Quelle est la probabilité de tirer exactement \(2\) boules rouges ?
Donner le résultat sous la forme d'une fraction ou d'un produit de fractions

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